20190124

Capitulo 6 Vista en 3D (Foley) parte 1

6.5.5 Mapeo en un Puerto de Vista

Las primitivas de salida se recortan en el sistema de coordenadas de proyección normalizado, que también se denomina sistema de coordenadas de pantalla 3D. Asumiremos para esta discusión que el volumen de la vista de proyección paralela canónica se ha utilizado para el recorte (la proyección en perspectiva M transforma el volumen de la vista de proyección en perspectiva en el volumen de la vista de proyección paralela si esta suposición es incorrecta). Por lo tanto, las coordenadas de todas las primitivas de salida que quedan se encuentran en el volumen de vista -1 < x <1, -1 < y < 1, -1 <z <0.

 El programador de PHIGS especifica una ventana 3D en la que se muestran los contenidos de este volumen de vista. se asignan  El Puerto de Vista 3D está contenida en el cubo de unidad
    0 <x <1,   0 <y <l,   0 <z <1.
 La cara frontal z = 1 del cubo de unidad se asigna en el cuadrado más grande que se puede inscribir en la pantalla pantalla. Suponemos que la esquina inferior izquierda del cuadrado está en (0, 0). Por ejemplo, en un dispositivo de visualización con una resolución horizontal de 1024 y una resolución vertical de 800, el cuadrado es la región 0 <x <799, 0 <y <799.

 Los puntos en el cubo unitario se muestran descartando su coordenada z. Por lo tanto, el punto (0.5,0.75,0.46) se mostraría en las coordenadas del dispositivo (400, 599). En el caso de la determinación de la superficie visible (Capítulo 15), la coordenada z de cada primitiva de salida se utiliza para determinar qué primitivas son visibles y cuáles están ocultas por otras primitivas con z más grande.

 Dada una vista 3D dentro del cubo unitario con coordenadas Xv.min, Xv.max, etc., el mapeo del volumen de vista de proyección paralela canónica en la ventana 3D se puede considerar como un proceso de tres pasos. En el primer paso, el volumen de la vista de proyección paralela canónica se traduce de modo que su esquina, (- 1, -1, - 1), se convierte en el origen. Esto se efectúa por la traslación T(1, 1, 1). A continuación, el volumen de la vista trasladada se escala al tamaño de la vista 3D, con la escala


Finalmente, la traslacion (Xv.min, Yv.min, Zv.min) convierte el volumen de vista escalado correctamente a la esquina inferior izquierda del puerte de vista. Por lo tanto, el volumen de vista canónica compuesta a la transformación de la vista 3D es

Tenga en cuenta que esto es similar a, pero no es lo mismo, la ventana para la transformación del puerto de vista Mwv desarrollado en la Sección 5.4.

20190101

Capitulo 5 Transformaciones Geometricas (Foley) Ultima Parte

5.6 REPRESENTACION MATRICIAL DE LAS TRANSFORMACIONES 3D

Del mismo modo que las transformaciones 2D pueden representarse mediante matrices 3X3 utilizando coordenadas homogéneas, las transformaciones 3D pueden representarse mediante matrices 4X4, siempre y cuando utilicemos representaciones de coordenadas homogéneas de puntos en  el espacio 3D. Por lo tanto, en lugar de representar un punto como (x, y, z), lo representamos como (x, y, z, W), donde dos de estos cuádruples representan el mismo punto si uno es un múltiplo distinto de cero del otro; El cuádruple (0,0,0,0) no está permitido. Como en 2D, una representación estándar de un punto (x, y, z, W) con W <> 0 viene dada por (x/W, y/W, z/W, 1). Transformar el punto a esta forma se llama homogeneización, como antes. Además, los puntos cuya coordenada W es cero se denominan puntos en el infinito. También hay una interpretación geométrica. Cada punto en el espacio 3D está siendo representado por una línea a través del origen en el espacio 4D, y las representaciones homogeneizadas de estos puntos forman un subespacio 3D del espacio 4D que se define por la ecuación única W=1.

El sistema de coordenadas 3D utilizado en este texto es diestro, como se muestra en la Fig. 5.14. Por convención, las rotaciones positivas en un sistema diestro son tales que, al mirar desde un eje positivo hacia el origen, una rotación de 90° en el sentido contrario a las agujas del reloj transformará un eje positivo en el otro. Esta tabla sigue de esta convención:

Estas direcciones positivas también se representan en la figura 5.14. Se advierte al lector que no todos los textos gráficos siguen esta convención.

Fig 5.14 El sistema de coordenadas para diestros.
Aquí utilizamos un sistema para diestros porque es la convención matemática estándar, aunque en gráficos 3D es conveniente pensar en un sistema para zurdos superpuesto en la cara de una pantalla (ver Fig. 5.15), ya que un zurdo  da la interpretación natural de los valores z más grandes que están más alejados del espectador.


Fig 5.15 El sistema de coordenadas para zurdos, con una pantalla de visualización superpuesta.
Observe que, en un sistema para zurdos, las rotaciones positivas son hacia la derecha cuando se mira desde un eje positivo hacia el origen. Esta definición de rotaciones positivas permite que se utilicen las mismas matrices de rotación dadas en esta sección para los sistemas de coordenadas de la derecha o de la izquierda.

La traslación en 3D es una extensión simple del 2D:



La escala se extiende de manera similar:
La rotación 2D de la ec. (5.26) es solo una rotación 3D sobre el eje z, que es

La matriz de rotación del eje x es

La matriz de rotación del eje y es

Cualquier número de matrices de rotación, escalado y traslación se pueden multiplicar. El resultado siempre tiene la forma


Al igual que en el caso 2D, la submatriz R superior 3 x 3 da la rotación y la escala, mientras que T proporciona la traslación. Se logra cierta eficiencia computacional realizando la transformación explícitamente como


donde R y T son submatrices de la ec. (5.45).

5.7 COMPOSICION DE TRANSFORMACIONES 3D

En esta sección, discutimos cómo componer matrices de transformación 3D. El objetivo es transformar los segmentos de línea dirigidos P1P2 y P1P3 en la Fig. 5.16 desde su posición inicial en la parte (a) hasta su posición final en la parte (b). Por lo tanto, el punto P1 se traslará al origen, P1P2  en el eje z positivo, y P1P3 estará en la mitad del eje y positivo del plano (y, z). Las longitudes de las líneas no se verán afectadas por la transformación.


Fig 5.16 Transformando P1,P2, y P3 desde su posición inicial (a) hasta su posición final (b).


Se presentan dos formas de lograr la transformación deseada. 

El primera forma es componer las transformaciones primitivas T, Rx, Ry y Rz. Este enfoque, aunque algo tedioso, es fácil de ilustrar, y su comprensión nos ayudará a construir una comprensión de las transformaciones. La segundo forma, utilizando las propiedades de las matrices ortogonales descritas en la sección anterior, se explica más brevemente pero es más abstracto.

Para trabajar con las transformaciones primitivas, nuevamente dividimos un problema difícil en subproblemas más simples. En este caso, la transformación deseada se puede hacer en cuatro pasos:

1. Trasladar P1 al origen.
2. Gire alrededor del eje y de modo que P1P2 se encuentre en el plano (y, z)
3. Gire alrededor ydel eje x de manera que P1P2 se encuentre en el eje z
4. Gire alrededor del eje z de manera que P1P3 se encuentre en el plano (y, z).

La segunda forma de obtener la matriz R es usar las propiedades de las matrices ortogonales:

Considerando que cada fila es un vector:
  1. Cada uno es un vector unitario.
  2. Cada uno es perpendicular al otro (su producto escalar es cero).
  3. Siempre y cuando se cumplan las condiciones 1 y 2 entonces:
  • El primer vector representa la rotaci6n en X
  • El segundo vector representa la rotaci6n en Y
  • El tercer vector representa la rotaci6n en Z

Recuerde que los vectores de fila unitaria de R giran hacia los ejes principales. Reemplazando los segundos subíndices de Eq. (5.45) con x, y, y z por conveniencia de notación:


Debido a que Rz es el vector unitario a lo largo de P1P2 que rotará hacia el eje z positivo:


Además, el vector unitario Rx es perpendicular al plano de P1, P2 y P3 y rotará hacia el eje x positivo, de modo que Rx debe ser el producto cruz normalizado de dos vectores en el plano:


La matriz de Composici6n  esta dada por :


La definici6n general de una matriz ortogonal es la siguiente:

Una matriz M es ortogonal si multiplicada por su transpuesta MT da como resultado la matriz identidad I. De igual forma, el producto de la transpuesta de una matriz ortogonal por la matriz original de como resultado la matriz identidad:

M MT = MT M =  I

Como consecuencia de la afirmación anterior, se tiene que la transpuesta de una matriz ortogonal es igual a su matriz inversa:

MT = M-1.


Consideremos otro ejemplo. La figura 5.21 muestra un avión definido en el sistema de coordenadas xp, yp, zp y centrado en el origen. 



Queremos transformar el avión de modo que se dirija en la dirección dada por el vector DOF (dirección de vuelo), esté centrado en P y no esté inclinado, como se muestra en la figura 5.22. 


La transformación para hacer esto consiste en una rotación para dirigir el avión en la dirección correcta, seguida de una traslación desde el origen a P. 


Para encontrar la matriz de rotación, simplemente determinamos en qué dirección cada uno de los ejes xp, yp y zp se dirige en la figura 5.22, asegúrese de que las direcciones estén normalizadas y utilícelas como vectores de columna en una matriz de rotación.





fuente:  Computer Graphics - Principles and Practice in C (2nd Edition).djvu







Capitulo 5 Transformaciones Geometricas (Foley) 2a Parte


5.4 LA TRANSFORMACION DE VENTANA A PUERTO DE VISTA

Algunos paquetes de gráficos permiten que el programador especifique coordenadas primitivas de salida en un sistema de coordenadas mundiales de punto flotante, utilizando cualquier unidad que sea significativa para el programa de aplicación: angstroms, micrones, metros, millas, años luz, etc. El término mundo se usa porque el programa de aplicación representa un mundo que se crea o muestra interactivamente al usuario. Dado que las primitivas de salida se especifican en coordenadas mundiales, se debe indicar al paquete de subrutinas gráficas cómo asignar coordenadas mundiales a coordenadas de pantalla. Podríamos hacer este mapeo haciendo que el programador de aplicaciones proporcione el paquete de gráficos con una matriz de transformación para efectuar el mapeo. Otra forma es hacer que el programador de la aplicación especifique una región rectangular en coordenadas mundiales, llamada ventana de coordenadas mundiales, y una región rectangular correspondiente en coordenadas de pantalla, llamada ventana gráfica(viewport), en la que se asignará la ventana de coordenadas mundiales. La transformación que asigna la ventana a la ventana gráfica se aplica a todas las primitivas de salida en las coordenadas mundiales, por lo que las asigna a las coordenadas de la pantalla. La figura 5.10 muestra este concepto.


Fig 5.10 La ventana en coordenadas mundiales y la ventana gráfica(viewport) en coordenadas de pantalla determinan el mapeo que se aplica a todas las primitivas de salida en coordenadas mundiales.
  Como se ve en esta figura, si la ventana y la ventana gráfica(viewport) no tienen la misma relación altura-ancho, se produce una escala no uniforme. Si el programa de aplicación cambia la ventana o la ventana gráfica, las nuevas primitivas de salida dibujadas en la pantalla se verán afectadas por el cambio. Las primitivas de salida existentes no se ven afectadas por tal cambio.


Dada una ventana y una ventana gráfica(viewport), ¿cuál es la matriz de transformación que mapea la ventana de coordenadas mundiales a la ventana gráfica(viewport) en coordenadas de pantalla? Esta matriz se puede desarrollar como una composición de transformación de tres pasos, como se sugiere en la Fig. 5.11.

Fig 5.11 Los pasos para transformar una ventana de coordenadas mundiales en un viewport.
 

La ventana, especificada por sus esquinas inferior izquierda y superior derecha, se traslada primero al origen de las coordenadas mundiales. A continuación, el tamaño de la ventana se escala para que sea igual al tamaño de la ventana gráfica(viewport). Finalmente, se utiliza una traslación para posicionar la ventana gráfica(viewport). La matriz general Mwv es:


Multiplicando P = Mwv[x y 1]^T nos da el resultado esperado:


Muchos paquetes de gráficos combinan la transformación ventana a ventana gráfica(viewport) con el recorte de primitivas de salida contra la ventana. El concepto de recorte se introdujo en el Capítulo 3; La figura 5.12 ilustra el recorte en el contexto de ventanas y ventanas gráficas.

Fig 5.12 Las primitivas de salida en coordenadas mundiales se recortan contra la ventana.
Los que quedan se muestran en la ventana gráfica(viewport).

5.5 EFICIENCIA

La composición más general de las operaciones R, S y T produce una matriz de la forma
(5.35)
 La submatriz superior 2X2 es una matriz compuesta de rotación y escala, mientras que tx y ty son traslaciones compuestas. El cálculo de M • P como un vector multiplicado por una matriz de 3 X 3 toma nueve multiplicos y seis sumas. La estructura fija de la última fila de la ec. (5.35), sin embargo, simplifica las operaciones reales para


reduciendo el proceso a cuatro multiplicaciones y cuatro sumas, una aceleración significativa, especialmente porque la operación se puede aplicar a cientos o incluso miles de puntos por imagen. Por lo tanto, aunque las matrices 3x3 son convenientes y útiles para componer transformaciones 2D, podemos usar la matriz final de la manera más eficiente en un programa al explotar su estructura especial. Algunos multiplicadores de matriz de hardware tienen sumadores y multiplicadores paralelos, lo que disminuye o elimina esta preocupación.

Otra área en la que la eficiencia es importante es crear vistas sucesivas de un objeto, como una molécula o un avión, rotadas algunos grados entre cada vista sucesiva. Si cada vista se puede crear y mostrar lo suficientemente rápido (de 30 a 100 milisegundos cada una), entonces el objeto parecerá estar girando dinámicamente. Para lograr esta velocidad, debemos transformar cada punto y línea individual del objeto lo más rápido posible. Las ecuaciones de rotación (ecuación (5.6)) requieren cuatro multiplicaciones y dos sumas. Podemos disminuir el conteo de operaciones reconociendo que, como θ es pequeño (solo unos pocos grados), cosθ está muy cerca de 1. En esta aproximación, Eq. (5.6) se convierte en


lo que requiere solo dos multiplicaciones y dos sumas. El ahorro de dos multiplicaciones puede ser significativo en las computadoras que carecen de multiplicadores de hardware.
Sin embargo, la ecuación (5.37) es solo una aproximación a los valores correctos de x' y y': se genera un pequeño error. Cada vez que las fórmulas se aplican a los nuevos valores de x o y, el error se vuelve un poco más grande . Si repetimos las fórmulas indefinidamente, el error abrumará los valores correctos y la imagen giratoria comenzará a parecer una colección de líneas dibujadas al azar.
Una mejor aproximación es usar x' en lugar de x en la segunda ecuación:


Esta es una mejor aproximación que la ecuación. (5.37) porque el determinante de la matriz 2x2 correspondiente es 1, lo que significa que las áreas transformadas por la ecuación. (5.38) se mantienen sin cambios. Tenga en cuenta que también pueden surgir errores acumulativos al usar repetidamente las ecuaciones de rotación correctas.

fuente: Computer Graphics - Principles and Practice in C (2nd Edition).djvu