20181219

Capitulo 5 Transformaciones Geometricas(Foley)

Este capítulo presenta las transformaciones geométricas básicas en 2D y 3D utilizadas en los gráficos de computadora. Las transformaciones de traslación, escalado y rotación que se analizan aquí son esenciales para muchas aplicaciones de gráficos y se mencionarán ampliamente en los siguientes capítulos. Las transformaciones son utilizadas directamente por los programas de aplicación y dentro de muchos paquetes de subrutinas de gráficos. Un programa de aplicación de planificación urbana usaría la traslación para colocar símbolos para edificios y árboles en las posiciones apropiadas, rotación para orientar los símbolos y escalar para dimensionar los símbolos. En general, muchas aplicaciones utilizan las transformaciones geométricas para cambiar la posición, la orientación y el tamaño de los objetos (también llamados símbolos o plantillas) en un dibujo. En el Capítulo 6, la rotación, traslación y escala 3D se utilizarán como parte del proceso de creación de representaciones 2D de objetos 3D. En el Capítulo 7, vemos cómo un paquete gráfico contemporáneo utiliza las transformaciones como parte de su implementación y también las pone a disposición de los programas de aplicación.

5.1 TRANSFORMACIONES 2D

Podemos trasladar puntos en el plano (x, y) a nuevas posiciones sumando las cantidades de traslación a las coordenadas de los puntos. Para que cada punto P(x, y) sea movido por dx unidades paralelas al eje X y por dy unidades paralelas al eje Y al nuevo punto P'(x', y'), podemos escribir:

x' := x +dx,       y':= y+dy    (5.1)

si lo definimos en vectores seria:
 (5.2)

entonces (5.1) puede ser mas conciso:

P' := P + T      (5.3)

Podríamos trasladar un objeto aplicando la ecuacion(5.1) a cada punto del objeto. Debido a que cada línea en un objeto está formada por un número infinito de puntos, este proceso tomaría un tiempo infinitamente largo. Afortunadamente, podemos trasladar todos los puntos en una línea trasladando solo los puntos finales de la línea y dibujando una nueva línea entre los puntos finales trasladados; Esto también es válido para el escalado (estiramiento) y la rotación. La figura 5.1 muestra el efecto de trasladar el contorno de una casa a (3, -4).
Figura 5.1 Trasladado de una casa

Los puntos se pueden escalar (estirar) a sx a lo largo del eje x y a sy a lo largo del eje y en nuevos puntos por las multiplicaciones.

x' := sx*x,       y':= sy*y    (5.4)

En forma matricial sería así:


(5.5)


donde S es la matriz de la ecuación (5.5).

En la Figura 5.2, la casa está escalada por 1/2 en x y 1/4 en y. Observe que la escala es sobre el origen: la casa es más pequeña y está más cerca del origen. Si los factores de escala fueran mayores que 1, la casa sería más grande y más alejada del origen. Las técnicas para escalar alrededor de algún punto que no sea el origen se discuten en la Sección 5.2. Las proporciones de la casa también han cambiado: una escala diferencial, en la que se ha utilizado sx <> sy. Con una escala uniforme, en la que sx = sy, las proporciones no se ven afectadas.

Figura 5.2 Escalado de una casa. El escalado no es uniforme y la casa cambia su posición.
Los puntos se pueden girar a través de un ángulo θ sobre el origen. Una rotación se define matemáticamente por
(5.6)

En forma matricial tenemos:
(5.7)

donde R es la matriz de rotación en la ecuación (5.7). La figura 5.3 muestra la rotacion de la casa a 45°,Al igual que con la escala, la rotación es sobre el origen; la rotación sobre un punto arbitrario se discute en la Sección 5.2
Figura 5.3 Rotación de una casa. La caasa también cambia la posición.
 Los ángulos positivos se miden en sentido contrario a las agujas del reloj desde x hacia y. Para los ángulos negativos (en el sentido de las agujas del reloj), las identidades cos(-θ) = cosθ y sin (-θ) = -sinθ se pueden usar para modificar las ecuaciones. (5.6) y (5.7).
Figura 5.4 Derivación de la ecuación de rotacion.
La ecuación (5.6) se deriva fácilmente de la figura 5.4, en la que una rotación por θ transforma P(x, y) en P'(x',y'). Debido a que la rotación es sobre el origen, las distancias desde el origen hasta P y hasta P', marcadas con r en la figura, son iguales. Por simple trigonometría, encontramos que


(5.8)
y
(5.9)

Sustituyendo la Ecuación (5.8) en la ecuación (5.9) produce la ecuacion(5.6).

5.2 COORDENADAS HOMOGÉNICAS Y REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE TRANSFORMACIONES 2D

La representación matricial para la traslación, escalado y rotacion son, respectivamente:


Desafortunadamente, la traslación se trata de manera diferente (como una adición) de la escala y la rotación (como multiplicaciones). Nos gustaría poder tratar las tres transformaciones de una manera consistente, para que puedan combinarse fácilmente.
Si los puntos se expresan en coordenadas homogéneas, las tres transformaciones se pueden tratar como multiplicaciones. Las coordenadas homogéneas se desarrollaron por primera vez en geometría y se aplicaron posteriormente en gráficos. Numerosos paquetes de subrutinas de gráficos y procesadores de visualización funcionan con coordenadas y transformaciones homogéneas.
En coordenadas homogéneas, agregamos una tercera coordenada a un punto. En lugar de estar representados por un par de números (x, y), cada punto está representado por una tripleta (x, y, W). Al mismo tiempo, decimos que dos conjuntos de coordenadas homogéneas (x, y, W) y (x', y', W') representan el mismo punto si y solo si uno es un múltiplo del otro. Por lo tanto, (2,3,6) y (4, 6, 12) son los mismos puntos representados por diferentes tripletas de coordenadas. Es decir, cada punto tiene muchas representaciones de coordenadas homogéneas diferentes. Además, al menos una de las coordenadas homogéneas debe ser distinta de cero: (0, 0, 0) no está permitido. Si la coordenada W no es cero, podemos dividir por ella: (x, y, W) representa el mismo punto que (x/W, y/W, 1). Cuando W es distinto de cero, normalmente hacemos esta división, y los números x / W y y / W se denominan coordenadas cartesianas del punto homogéneo. Los puntos con W = 0 se llaman puntos en el infinito, y no aparecerán muy a menudo en nuestras discusiones.
Las tripletas de coordenadas normalmente representan puntos en el espacio 3D, pero aquí los estamos utilizando para representar puntos en el espacio 2D. La conexión es la siguiente: si tomamos todos las tripletas que representan el mismo punto, es decir, todos las tripletas de la forma (tx, ty, tW), con t < > 0, obtenemos una línea en el espacio 3D. Así, cada punto homogéneo representa una línea en el espacio 3D. Si homogeneizamos el punto (dividir por W), obtenemos un punto de la forma (x, y, 1). Por lo tanto, los puntos homogeneizados forman el plano definido por la ecuación W = 1 en el espacio (x, y, W). La figura 5.5 muestra esta relación. Los puntos en el infinito no están representados en este plano.

Fig 5.5 El espacio de coordenadas homogeneas XYW, con el plano W=1 y el punto P(X,Y,W) proyectado en el Plano W=1.
Debido a que los puntos ahora son vectores de columna de tres elementos, las matrices de transformación, que multiplican un vector de punto para producir otro vector de punto, deben ser 3x3. En la forma de matriz 3x3 para coordenadas homogéneas, las ecuaciones de traslación Eq. (5.1) son
(5.10)

Advertimos al lector que algunos libros de texto de gráficos, utilizan una convención de matrices de premultiplicado por vectores de fila, en lugar de postcompletación múltiple por vectores de columna. Las matrices deben transponerse para pasar de una convención a otra, al igual que los vectores de fila y columna se transponen:

La Ecuacion (5.10) tambien puede expresarse como:
(5.11)

donde
(5.12)

¿Qué pasaría si un punto P es trasladado por T(dx1, dy1) a P' y despues transladado por T(dx2,dy2) a P''?
El resultado que esperamos intuitivamente es una traslación neta T (dx1 + dx2, dy1 + dy2). Para confirmar esta intuición, comenzamos con lo dado:

Ahora sustituimos la ecuación (5.13) dentro de la ecuacion(5.14) y obtenemos:
(5.15)
La matriz producto T(dx2,dy2)*T(dx1,dy2) es
(5.16)
La transalción neta es de hecho T(dx1+dx2,dy1+dy2). El producto de la matriz se conoce de diversas maneras como la composición, catenación, concatenación o composición de T (dx1, dy1) y T (dx2, dy2). Aquí, normalmente usaremos el término composición.
Similarmente, la ecuación de escalación (5.4) son reprensentadas de forma matricial como:
(5.17)
Definimos
(5.18)
tenemos
(5.19)
Así como las translaciones sucesivas son aditivas, esperamos que la escala sucesiva sea
multiplicativo. Dado:


entonces sustituimos la ecuación (5.20) dentro de la ecuación (5.21) y obtenemos:
(5.22)
La matriz producto S(x2,y2)*S(x1,y1) es
(5.23)
Así, las escalaciones son efectivamente multiplicativas.
Finalmente las ecuaciones de rotacion(5.6) pueden representarse como:
(5.24)
dejando:
(5.25)
tenemos:
(5.26)
La demostración de que dos rotaciones sucesivas son aditivas se deja como ejercicio.

En la submatriz 2x2 superior izquierda de la ecuación (5.25), considere cada una de las dos filas como vectores. Se puede mostrar que los vectores tienen tres propiedades:

  1. Cada uno es un vector unitario.
  2. Cada uno es perpendicular al otro (su producto punto es cero).
  3. Los vectores primero y segundo serán rotados por R(θ) para ubicarse en los ejes x y y positivos, respectivamente (en presencia de las condiciones 1 y 2, esto es equivalente a la submatriz que tiene un determinante de 1).

Las primeras dos propiedades también son verdaderas de las columnas de la submatriz 2x2. Las dos direcciones son aquellas en las que se rotan los vectores a lo largo de los ejes x y y positivos. Estas propiedades sugieren dos formas útiles de derivar una matriz de rotación cuando conocemos el efecto deseado de la rotación. Una matriz que tiene estas propiedades se llama ortogonal especial.

Un matriz de transformación de la forma:
(5.27)
donde la submatriz superior 2x2 es ortogonal, conserva los ángulos y las longitudes. Es decir, un cuadrado unitario sigue siendo un cuadrado unitario, y no se convierte en un rombo con lados unitarios, ni en un cuadrado con lados no unitarios. Estas transformaciones también se denominan transformaciones de cuerpo rígido, porque el cuerpo u objeto que se transforma no está distorsionado de ninguna manera. Una secuencia arbitraria de matrices de rotación y traslación crea una matriz de esta forma.
¿Qué se puede decir sobre el producto de una secuencia arbitraria de matrices de rotación, traslación y escala? Se denominan transformaciones afines y tienen la propiedad de preservar el paralelismo de las líneas, pero no las longitudes y los ángulos.
Fig 5.6 Un cubo unitario se gira en -45 ° y no tiene una escala uniforme. El resultado es una transformación afín del cubo unitario, en el que se mantiene el paralelismo de las líneas, pero no se mantienen ni los ángulos ni las longitudes.
 La Figura 5.6 muestra los resultados de aplicar una rotación de -45 ° y luego una escala no uniforme al cubo unitario. Está claro que esta secuencia no ha conservado ni los ángulos ni las longitudes, pero las líneas paralelas se han mantenido paralelas. Las operaciones adicionales de rotación, escala y traslación no causarán que las líneas paralelas dejen de ser paralelas. R(θ), S(sx, sy) y T(dx, dy) también son afines.
Otro tipo de transformación primitiva, las transformaciones de cizallamiento(shear), también son afines. Las transformaciones de corte bidimensional son de dos tipos: un corte a lo largo del eje x y un corte a lo largo del eje y.

Fig 5.7 Las operaciones de corte primitivo aplicadas al cubo unitario.
En cada caso, las longitudes de las líneas oblicuas son ahora mayores que 1.

 La figura 5.7 muestra el efecto de cortar el cubo unitario a lo largo de cada eje. La operación está representada por la matriz.
(5.28)
El término a en la matriz de corte es la constante de proporcionalidad.
 Nota que el producto SHx[x  y   1]^T es [x+ay   y   1]^T, demostrando claramente el cambio proporcional en x como una función de y.

similarmente la matriz
(5.29)
cizalla a lo largo del eje y.



5.3 COMPOSICION DE TRANSFORMACIONES 2D

La idea de composición fue introducida en la sección anterior. Aquí, usamos la composición para combinar las matrices fundamentales R, S y T para producir los resultados generales deseados. El propósito básico de componer transformaciones es ganar eficiencia aplicando una sola transformación compuesta a un punto, en lugar de aplicar una serie de transformaciones, una después de la otra.
Considere la rotación de un objeto sobre un punto arbitrario P1. Ya que sabemos cómo rotar solo sobre el origen, convertimos nuestro problema original (difícil) en tres problemas separados (fáciles). Por lo tanto, para rotar sobre P1 necesitamos una secuencia de tres transformaciones fundamentales:
Figura 5.8 Rotación de una casa sobre el punto P, con un ángulo teta.
  1. Transladar de tal manera que P1 esté en el origen.
  2. Rotar
  3. Transaldar de tal manera que el punto en el origen regrese a P1.
Esta secuencia esta ilustrada en la figura 5.8 en el que nuestra casa gira alrededor de P1(x1,y1).
La primera traslación es por (—x1, —y1), mientras que la traslación posterior es por la inversa (x1, y1).
El resultado es bastante diferente al de aplicar solo la rotación.
La Transformación Neta es:


Se utiliza un enfoque similar para escalar un objeto sobre un punto arbitrario P1. Primero, traslada de tal manera que P1 vaya al origen, luego escale y luego vuelva a trasladar a P1. En este caso, la transformación neta es

Supongamos que deseamos escalar, rotar y colocar la casa que se muestra en la Fig. 5.9 con P1 como el centro para la rotación y la escala.

Figura 5.9 Rotación y Traslación de una casa sobre el punto P1, de tal manera que lo que estaba en P1 está en P2
 La secuencia es trasladar P1 al origen, realizar el escalado y la rotación, y luego trasladar desde el origen a la nueva posición P2 donde se ubicará la casa. Una estructura de datos que registra esta transformación puede contener el (los) factor (es) de escala, el ángulo de rotación y los montos de conversión, y el orden en que se aplicaron las transformaciones, o simplemente puede registrar la matriz de transformación compuesta:
Si M1 y M2 representan una traslación, escalado o rotación ¿cuándo son conmutativas M1 y M2?  Es decir, ¿cuándo es M1 * M2 = M2 * M1? En general, por supuesto, la multiplicación de matrices no es conmutativa. Sin embargo, es fácil demostrar que, en los siguientes casos especiales, la conmutación se mantiene:

En estos casos, no debemos preocuparnos por el orden de manipulación de la matriz.

Hasta este punto debe estar comprendido lo que es la matriz de transformación y como podemos construir una a nuestras necesidades. Si aún existen dudas te recomiendo ver el siguiente video:



fuente: Computer Graphics - Principles and Practice in C (2nd Edition).djvu